Олимпиада по математике для школьников 8 класс.

Найти все решения в натуральных числах уравнения x y z 2 2 2 .

Несколько рабочих выполняют работу за 14 дней. Если бы их было на 4 человека больше и каждый работал в день на 1 час дольше, то та же работа была бы сделана за 10 дней. Если же их было бы ещѐ на 6 человек больше и каждый работал бы в день ещѐ на 1 час дольше, то та же работа была бы сделана за 7 дней. Сколько было рабочих и сколько часов в день они работали?

Найти все наборы из четырѐх целых чисел такие, что произведение любых трѐх из них в сумме с четвѐртым равно 2.

Нужно разрезать квадратную клетчатую доску 5 5 на единичные квадратики. Разрезы должны быть прямолинейными и идти вдоль линий сетки. Образовавшиеся после очередного разреза части можно перекладывать так, чтобы следующий разрез мог рассечь не одну, а сразу несколько частей. Какое наименьшее число разрезов потребуется?

Внутри произвольного прямоугольника ABCD взята некоторая точка M. Доказать, что, независимо от выбора M, среди отрезков AM,BM,CM и DM найдутся три, из которых можно составить треугольник.